CATIA를 활용한 Cycloid 곡선 작도하기

CATIA를 활용하면 다양한 형태의 수학적 곡선들을 작도할 수 있습니다.

오늘은 그 중 Cycloid Curve를 작도하는 방법을 알아보겠습니다.

---

사이클로이드(Cycloid) 곡선의 특징과 수학적 특성:

 

정의: 사이클로이드 곡선은 원이 직선 위를 구르면서 그 원의 한 점이 그리는 곡선입니다. 이 곡선은 원의 중심에서 원이 구르는 직선 위에 한 점이 남기는 자취로 형성됩니다.

수학적 방정식:

• 사이클로이드의 매개방정식은 다음과 같습니다.

x(t)=r(t−sin(t))

y(t)=r(1−cos⁡(t))

 

여기서 r은 원의 반지름이고, t는 매개변수입니다.

주요 특성:

 

• 주기성: 사이클로이드는 주기가 2π로, 곡선이 반복됩니다.
• 비대칭성: 곡선은 위아래로 대칭적이지 않으며, 원의 위치에 따라 다양한 형태의 곡선이 형성됩니다.
• 구르는 원의 속도와 관계: 사이클로이드의 곡선은 원이 구르는 속도에 비례하여 결정됩니다.
• 최소 시간 경로: 물리적으로, 물체가 두 점 사이를 이동할 때 사이클로이드 경로가 최소 시간 경로임을 보여주는 특성이 있습니다.

물리적 의미:

• 사이클로이드 곡선은 "브래키스트크로네(Brachistochrone) 문제"와 관련이 있습니다. 이 문제에서 두 점 사이를 물체가 가장 빠르게 이동하는 경로로 사이클로이드가 선택됩니다.

적용 분야:

• 사이클로이드는 물리학, 공학, 로봇 경로 계획 및 기타 여러 분야에서 중요한 역할을 합니다. 특히, 물체의 빠른 이동을 최적화하는 문제에서 주로 사용됩니다.

 

CATIA로 Cycloid Curve 작도하는 방법

 

CATIA의 Law Editor와 Curve from Equation을 통해 작도할 수 있습니다.

Law Editor를 통해 x(t), y(t), z(t)의 각 매개변수 함수를 생성

 

Parameter 생성

N: Cycloid 곡선의 반복 횟수

 

Curve from Equation으로 Cycloid Curve 생성

 

Cycloid 곡선 상 임의의 한 점에서의 속도 구하기

 

속도는 기본적으로 위치에 대한 미분값입니다.

즉 Cycloid 곡선에 대한 벡터를 통해 좌표값을 미분하면 속도를 구할 수 있습니다.

r(t) = [r(t-sint), r(1-cost)]

v(t) = [dx/dt, dy/dt]          

      = [r-rcost, rsint]         

위의 수식에 따라 곡선 상 임의의 점 p에 대한 좌표값을 구하여 계산해주면 속도를 구할 수 있습니다.

 

보다 상세한 수학적 풀이가 필요하신 분은 아래의 첨부파일 참고하시기 바랍니다.

Cycloid Velocity.pdf

0.10MB